AVG迷题探索（03）

vexer

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这个还是破箱人中的谜题，要求最后横竖斜之和都是15。谜题本身和涉及的背景知识都还算有趣，学着tabris也来探索下。
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先说解法：

# \. s1 m. l; ]) Q先按图中顺序假设每个位置的数分别是A、B、C、D、E、F、G、H、I。
8 p0 c3 L: }7 Z) V2 L那么按照要求横、竖、斜之和都是15，可得下面的方程组：
A+B+C=15
D+E+F=15
G+H+I=15
A+D+G=15
. Z, e- Z9 Q! y( W. J# qB+E+H=15
. H) B4 D" l6 F9 t2 H4 c7 P* {3 {C+F+I=15
A+E+I=15
C+E+G=15
* h" [: D) `' U# A; Y/ t这个方程组很明显解是不唯一的，我们不妨先用矩阵的初等变换将其化简（不会线性代数也没关系，原理就是方程组消元，只是操作起来简单点罢了。）：
增广矩阵如下：

经过适当的行变换（过程就省略了，给大家看个结果。化了我好久啊～九阶的看着我头都晕了）可化为如下形式：
8 e- y# X/ X5 r9 n$ E
2 {( P" }5 r$ k  O- `0 @! @0 b经过观察发现第五行（红色）只有一个元素不为0，可得E=5即图形的中心位置数字是5。

$ E% N& G+ y8 O# t7 Y# G此外，也可以按照tabris的方法这样来确定中间的数字：

首先注意到，任何一个数字设为x如果放在中间一格，它就会参与四次运算，而且这四次运算中剩余两个数字y、z必须要符合15-x＝y+z，并且在4次运算中y、z要各不相同，因此：
1）如果中间填入9，则15-9＝6，两个不相等的数相加等于6的情况只有1+5、2+4两种情况，不合要求，故9不能填中间；
- ], t' J! g9 v5 ?2 u2）填8，则15-8＝7，相加情况有1+6、2+5、3+4三种情况，也排除；
' q" L" ^) t- g+ E3 L3）填7，则15-7＝8，相加情况有1+7、2+6、3+5三种，排除；
4）填6，则15-6＝9，相加情况有1+8、2+7、4+5三种，排除（6+3也等于9，但6已经用过了）；
7 Q- X" T$ u9 j) ~4 X5）填5，则15-5＝10，相加情况有1+9、2+8、3+7、4+6四种，符合；
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) Q% e- s% u3 K.
最后确定中间的数只能填5！这个分析方法给出来以后可能更容易理解，但是并不一定每个人都能一开始都想到从这个角度去分析。可以说前一种方法入手简单，列方程、求解都顺理成章，但是计算稍复杂。而tabris的方法不太容易第一时间想到，但是想到后，就简单明了了。大家在解题过程可以根据自己的喜好选择。

: K( J0 B+ ~' ]2 ^接下来就好办了，中心确定后就只剩下四个边了。又因为图形对称，所以经过旋转一条边上的三个数在那边都无所谓，我们不妨假设包含“1”的那一组数（1,x,y）在上边（设其他数也行，分析方法一样）。有x+y=14，不难发现x,y只能是6，8。那么1是在上边的中间还是边上呢？答案是在中间。原因见下图，若是在边上则需要2组包含1的数和为15，而我们只有一组。
* e' s$ I, `( P/ s# }

$ q9 v; W8 Z# ^2 _! T; D6 g这样我们就能确定 1，5，6，8，9这5个数字了。（6，8左右无所谓，图形对称的，翻转即可）如下图：
5 R$ F4 W% G2 k) g) ~/ j

8 g0 x- o! D4 Y: E再根据 8+5+2=15确定2，6+5+4=15确定4，8+4+3=15确定3和最后的7，这样需要的方阵就出来了，如图：

至于怎么将九个数字变为这么个形状，那就比较简单了。估计随便一个人试试也能一两分钟搞定，这里就不详说了。给个完成的截图。
1 j7 Q: d. T8 E4 q0 V; b0 @& U8 L
! h$ P9 |7 d; e- N, r1 I                                                     
( Z9 R" _9 x( s- s
1 _5 h" p5 E/ W, h; D# L最后要说的是：我上面的方法其实只是提供一个数学上的思路，也是顺便证明下答案的唯一（当然旋转和翻转后都算一种）。其实这个问题中国古代就有人解决了，当时叫做“洛图”。并且传有构造的口诀，现在也叫“幻方”谜题中的便是三阶幻方。

vexer

中国古代研究幻方的第一人是南宋的杨辉，他给出了从3阶到10阶的幻方，其中4阶和8阶幻方各给出两图，称之为阴图和阳图。对于3阶幻方，杨辉给出口诀：
: E- {9 ]- R% ]. w九子斜排 上下对易 左右相更 四维挺出
戴九履一 左三右七 二四为肩 六八为足
0 d  z+ i  u, K% X) h
口诀的意思是先1到九按顺序斜排，然后上下1，9对换，左右3，7对换，最后将中间的2，4，6，8顶出到四个角。具体操作如下图：
. a/ O4 S9 r. H+ i
( ?+ t( B9 D6 |后四句则是对答案的一个直观描述。其得到的答案也和我们开始计算的一样，不过上下翻转而已。

而现在，对于奇数阶的幻方又有人提出下面口诀：
1坐边中间，斜着把数填；
8 I6 S$ s  g$ J  L* w 出边填对面，遇数往下旋；
出角仅一次，转回下格间。
: Y1 Q& X5 l4 t  ?这里的“1”，是指要填的这一列数中的第一个数，比如我们的问题中就是数字1。“1”坐边中间，指第一个数要填在任何一边的正中间的空格里，我们以上边为例。从1到2时，必须先向边外斜（比如：第一个数填在上边的正中间，填第二个数时，要向左上方或右上方斜），填后面的数时也要按照同样的方向斜。下面我们具体操作下：
1放中间，然后逐个数往右上填即“1坐边中间，斜着把数填”。若是出了边框则想象边框外有一个同样的幻方，把数写道对应位置。若是遇到数字或顶角，则往下移一个。即是“出边填对面，遇数往下旋；出角仅一次，转回下格间。具体可看下图：

; D  h1 K$ h  f# k) u3 m得出的答案还是和开始一样。
这样大家只要记住这个口诀，以后奇数阶幻方就都可以轻松搞定了。[s:23]   

& n- N2 U8 I2 k3 h7 b% r- H. n对于偶数阶，也有很多构造方法。比如最简单的四阶，只要顺序填好1-16，然后对焦线上的数中心对调就行。更高阶的也是有很多巧妙的构造办法的，这就不详述了，有兴趣的可以上网一搜。
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) x; j, Q3 S1 S  r+ ~" J4 b3 L
6 m% d' S( ^, y+ t' ~上面这些方法都是前人通过仔细的观察、论证而总结出来的。非常巧妙，但是网上一般只给出了方法本身，而讨论其中原理的比较少，这也是我为什么在开始先自己通过计算得出答案的原因。


最后贴一点关于幻方的小知识，内容来自于网上：
6 _6 s% S+ l1 b& {
. `+ t4 x' T& i9 `幻方的定义:
* K) R* |/ K3 X6 p# S! bn阶幻方是由前n2个自然数组成的一个n阶方阵，其各行、各列及两条对角线所含的n个数的和相等

幻方的历史:
2 N$ m" c# x2 V3 {7 A幻方又称为魔方，方阵或厅平方，它最早起源于我国。
. H9 f. ]# B9 ^宋代数学家杨辉称之为纵横图。
. P5 [% q& t& p3 u7 }所谓纵横图，它是由1到n 2,这n 2个自然数按照一珲的规律排列成N行、N列的一个方阵。它具有一种厅妙的性质，在各种几何形状的表上排列适当的数字，如果对这些数字进行简单的逻辑运算时，不论采取哪一条路线，最后得到的和或积都是完全相同的。

% {. R! a; I5 m  d+ z" D. m大约两千多年前西汉时代,流传夏禹治水时,黄河中跃出一匹神马,马背上驮著一幅图,人称「河图」;又洛水河中浮出一只神龟,龟背上有一张象徵吉祥的图案称为「洛书」.

' H" ^9 I6 Y9 J+ o1 D8 z9 p+ I他们发现,这个图案每一列,每一行及对角线,加起来的数字和都是一样的,这就是我们现在所称的幻方.也有人认为"洛书"是外星人遗物;而"河图"则是描述了宇宙生物(包括外星人)的基因排序规则,幻方是外星人向地球人的自我介绍.另外前几年在上海浦东陆家嘴地区挖出了一块元朝时代伊斯兰教信徒所挂的玉挂,玉挂的正面写著:「万物非主,惟有真宰,默罕默德,为其使者」,而玉挂的另一面就是一个四阶幻方.

3 `7 Z: c2 j1 @, R1 U6 `$ x关于幻方的起源，我国有“河图”和“洛书”之说。相传在远古时期，伏羲氏取得天下，把国家治理得井井有条，感动了上花于是黄河中跃出一匹龙马，背上驮着一张图，反作为礼物献给他，这就是“河图”，了是最早的幻方伏羲氏赁借着“河图”而演绎出了八卦，后来大禹治洪水时，咯水中浮出一只大乌龟，它的背上有图有字，人们称之为“洛书”。“洛书”所画的衅中共有黑、白圆圈45个。把这些连在一起的小圆和数目表示出来，得到九个。这九个数就可以组成一个纵横图，人们把由九个数3行3列的幻方称为3阶幻方，除此之外，还有4阶、5阶...

后来，人们经过研究，得出计算任意阶数幻方的各行、各列、各条对角线上所有数的和的公式为：
Nn=1/2n(n 2+1)
% x6 g! r% G% j$ a其中n为幻方的阶数，所求的数为Nn.

幻方最早记载于我国公元前500年的春秋时期《大戴礼》中，这说明我国人民早在2500年前就已经知道了幻方的排列规律。而在国外，公元130年，希腊人塞翁才第一次提起幻方。
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我国不仅拥用幻方的发明权，而且是对幻方进行深入研究的国家。公元13世纪的数学家杨辉已经编制出3－10阶幻方，记载在他1275年写的《续古摘厅算法》一书中。在欧洲，直到574年，德国著名画家丢功才绘制出了完整的4阶幻方。
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8 l2 X% ^5 v; z" c  d! s而在国外,十二世纪的阿拉伯文献也有六阶幻方的记载,我国的考古学家们曾经在西安发现了阿拉伯文献上的五块六阶幻方,除了这些以外,历史上最早的四阶幻方是在印度发现的,那是一个完全幻方,而且比中国的杨辉还要早了两百多年,印度人认为那是天神的手笔.
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: b' Q: q" a$ A# ^& I  O2 a, ]1956年西安出土一铁片板上所刻的六阶幻方(古阿拉伯数字)

十三世纪,东罗马帝国才对幻方产生兴趣,但却没有什么成果.
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直到十五世纪,住在君士坦丁堡的魔索普拉才把我国的纵横图传给了欧洲人,欧洲人认为幻方可以镇压妖魔,所以把它作为护身符,也把它叫作「Magic Square」.
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欧洲最早的幻方是在德国一位名画家Albrecht Dure的画里的,上面有一个四阶幻方,而这个幻方的下面两个数字正好是这幅画的制作年代(1514).这是欧洲最古老的幻方.
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幻方的种类:
+ f% |% k( ]0 n+ n/ B
现在的幻方种类很多，如

# e/ g  X) }- e$ r" ?一般幻方,完美幻方,高次幻方,

! f/ ~- T' {/ k# v3 Q魔鬼幻方,同心幻方,对称幻方,
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3 D# u( y9 |" h/ P2 i马步幻方,多重幻方,六角幻方等等

tabris

哇～版主出手了，厉害！我的线性代数那时还拿90分，可惜现在完全忘记的说。vexer你就直接用“AVG迷题探索（03）”好了，百家争鸣才能充实内容呢～
+ }$ |9 A9 A. j: b4 X" i) q我还提议，今后此类贴子，vexer你认为合要求的，就统统编为“AVG迷题探索（XX）”，我们论坛将来可以出版小册子了，呵呵～

soring123

我靠  比上了 两位真是高人啊 对是数学都颇有研究啊 这种帖子绝对可以上JA

tabris

我的线代彻底荒废了，我解决这题靠的是排除法，LZ不介意的话我在这里班门弄斧一下子，思考过程是这样的：

    首先注意到，任何一个数字设为x如果放在中间一格，它就会参与四次运算，而且这四次运算中剩余两个数字y、z必须要符合15-x＝y+z，并且在4次运算中y、z要各不相同，因此：
& U$ G  w8 B' t: G# K  A
! E6 ]$ y7 Y$ ~5 }1）如果中间填入9，则15-9＝6，两个不相等的数相加等于6的情况只有1+5、2+4两种情况，不合要求，故9不能填中间；
2）填8，则15-8＝7，相加情况有1+6、2+5、3+4三种情况，也排除；
3）填7，则15-7＝8，相加情况有1+7、2+6、3+5三种，排除；
4）填6，则15-6＝9，相加情况有1+8、2+7、4+5三种，排除（6+3也等于9，但6已经用过了）；
" j$ k& o& ]- F: H5）填5，则15-5＝10，相加情况有1+9、2+8、3+7、4+6四种，符合；
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8 u  f+ a( d) X& y- p最后确定中间的数只能填5！
/ Q+ b' j% b$ i! m' K
后面的基本和LZ的过程一样了。 [s:22]

vexer

引用第4楼tabris于2007-08-22 09:03发表的  :
        我的线代彻底荒废了，我解决这题靠的是排除法，LZ不介意的话我在这里班门弄斧一下子，思考过程是这样的：
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8 f8 H8 k+ K/ n7 n3 w# u    首先注意到，任何一个数字设为x如果放在中间一格，它就会参与四次运算，而且这四次运算中剩余两个数字y、z必须要符合15-x＝y+z，并且在4次运算中y、z要各不相同，因此：
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1）如果中间填入9，则15-9＝6，两个不相等的数相加等于6的情况只有1+5、2+4两种情况，不合要求，故9不能填中间；
# Y, H( \7 _+ D$ ~.......

有道理～我是直接偷懒了，直接按常规列了个方程完事—。—
; j- J, _5 E6 T8 N; P你的方法让人理解起来似乎更简单！也加上。

tabris

期待LZ关于幻方的继续探讨！

vexer

好了～二楼幻方的内容更新完了，只是个初步的介绍～有兴趣的可以网上找找～这类东西多得很。

三生石

我期待有关avg的数学讨论帖好多年了，没想到一下来了这么多。

vexer

引用第8楼三生石于2007-08-22 13:40发表的  :
: Y0 k9 H# D2 M我期待有关avg的数学讨论帖好多年了，没想到一下来了这么多。

正好慢慢看么～～有兴趣你也来一个嘛～

+ m+ y# @* |8 w+ Y汗下你的签名～～