中国古代研究幻方的第一人是南宋的杨辉，他给出了从3阶到10阶的幻方，其中4阶和8阶幻方各给出两图，称之为阴图和阳图。对于3阶幻方，杨辉给出口诀：
, j' a* b& s# @, d/ c+ P; q九子斜排 上下对易 左右相更 四维挺出
8 b# F- t9 D1 M. Z( b6 V( o( ~戴九履一 左三右七 二四为肩 六八为足 ( A- q/ i- B3 G8 N2 \$ E/ n
t5 j" E0 q9 p& k y口诀的意思是先1到九按顺序斜排，然后上下1，9对换，左右3，7对换，最后将中间的2，4，6，8顶出到四个角。具体操作如下图：
2 _0 G" V, e& d
* I; U/ |6 ~+ o4 p* y' d后四句则是对答案的一个直观描述。其得到的答案也和我们开始计算的一样，不过上下翻转而已。
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9 a/ U( F, Q( _而现在，对于奇数阶的幻方又有人提出下面口诀： * |. v7 j: p- A+ \+ v7 G" D0 }
1坐边中间，斜着把数填；
- x4 w9 W/ |2 I5 i9 A% ?6 I 出边填对面，遇数往下旋； # p# W$ N8 A* c5 d5 d# T
出角仅一次，转回下格间。 + N% q$ [* G& c3 d8 A0 G
这里的“1”，是指要填的这一列数中的第一个数，比如我们的问题中就是数字1。“1”坐边中间，指第一个数要填在任何一边的正中间的空格里，我们以上边为例。从1到2时，必须先向边外斜（比如：第一个数填在上边的正中间，填第二个数时，要向左上方或右上方斜），填后面的数时也要按照同样的方向斜。下面我们具体操作下： 7 g% `7 `. i. W! d) b
1放中间，然后逐个数往右上填即“1坐边中间，斜着把数填”。若是出了边框则想象边框外有一个同样的幻方，把数写道对应位置。若是遇到数字或顶角，则往下移一个。即是“出边填对面，遇数往下旋；出角仅一次，转回下格间。具体可看下图：
+ w C, h& ~" _+ Y # U M2 F' Y& G1 Z* C+ B
得出的答案还是和开始一样。
m/ [* M7 _2 l, h这样大家只要记住这个口诀，以后奇数阶幻方就都可以轻松搞定了。[s:23] ! t1 F: u( H6 v) C
6 P7 |5 ~& \+ w+ A- g对于偶数阶，也有很多构造方法。比如最简单的四阶，只要顺序填好1-16，然后对焦线上的数中心对调就行。更高阶的也是有很多巧妙的构造办法的，这就不详述了，有兴趣的可以上网一搜。 , w0 z1 o$ K8 `& n, p
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上面这些方法都是前人通过仔细的观察、论证而总结出来的。非常巧妙，但是网上一般只给出了方法本身，而讨论其中原理的比较少，这也是我为什么在开始先自己通过计算得出答案的原因。 T6 T1 F) g& D4 `9 S$ l5 {
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( z z- K0 v3 u+ `% G最后贴一点关于幻方的小知识，内容来自于网上：
) f, D- `+ O! t$ V, u, _' |: G# G6 p1 I0 ?# c5 A4 F$ @7 Y3 I% ?
幻方的定义:
+ m o3 q) ^9 X- ^n阶幻方是由前n2个自然数组成的一个n阶方阵，其各行、各列及两条对角线所含的n个数的和相等
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幻方的历史:
7 ]& f9 u( O/ u+ e: ?) T幻方又称为魔方，方阵或厅平方，它最早起源于我国。 $ j2 Y8 q& @' S
宋代数学家杨辉称之为纵横图。
6 p3 w& P8 W& `+ R2 ?所谓纵横图，它是由1到n 2,这n 2个自然数按照一珲的规律排列成N行、N列的一个方阵。它具有一种厅妙的性质，在各种几何形状的表上排列适当的数字，如果对这些数字进行简单的逻辑运算时，不论采取哪一条路线，最后得到的和或积都是完全相同的。 0 p: h' U0 A A2 k6 y
0 U4 K( ?6 N0 r9 x大约两千多年前西汉时代,流传夏禹治水时,黄河中跃出一匹神马,马背上驮著一幅图,人称「河图」;又洛水河中浮出一只神龟,龟背上有一张象徵吉祥的图案称为「洛书」. 4 V" r4 Z: U0 r& q& L5 n+ }
+ E, O4 R8 e& R2 R( v& k他们发现,这个图案每一列,每一行及对角线,加起来的数字和都是一样的,这就是我们现在所称的幻方.也有人认为"洛书"是外星人遗物;而"河图"则是描述了宇宙生物(包括外星人)的基因排序规则,幻方是外星人向地球人的自我介绍.另外前几年在上海浦东陆家嘴地区挖出了一块元朝时代伊斯兰教信徒所挂的玉挂,玉挂的正面写著:「万物非主,惟有真宰,默罕默德,为其使者」,而玉挂的另一面就是一个四阶幻方.
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: }% C6 f0 }; D6 L) t关于幻方的起源，我国有“河图”和“洛书”之说。相传在远古时期，伏羲氏取得天下，把国家治理得井井有条，感动了上花于是黄河中跃出一匹龙马，背上驮着一张图，反作为礼物献给他，这就是“河图”，了是最早的幻方伏羲氏赁借着“河图”而演绎出了八卦，后来大禹治洪水时，咯水中浮出一只大乌龟，它的背上有图有字，人们称之为“洛书”。“洛书”所画的衅中共有黑、白圆圈45个。把这些连在一起的小圆和数目表示出来，得到九个。这九个数就可以组成一个纵横图，人们把由九个数3行3列的幻方称为3阶幻方，除此之外，还有4阶、5阶...
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0 N" R# x6 J- Q$ b2 V- S7 m( M$ G后来，人们经过研究，得出计算任意阶数幻方的各行、各列、各条对角线上所有数的和的公式为：
* \/ J! f1 a# d% [Nn=1/2n(n 2+1) . Q e. u! y X7 `3 W
其中n为幻方的阶数，所求的数为Nn. " ^' T! G! K o# F+ Y& i
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幻方最早记载于我国公元前500年的春秋时期《大戴礼》中，这说明我国人民早在2500年前就已经知道了幻方的排列规律。而在国外，公元130年，希腊人塞翁才第一次提起幻方。
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3 ^( p. o4 G/ v1 t- z, u我国不仅拥用幻方的发明权，而且是对幻方进行深入研究的国家。公元13世纪的数学家杨辉已经编制出3－10阶幻方，记载在他1275年写的《续古摘厅算法》一书中。在欧洲，直到574年，德国著名画家丢功才绘制出了完整的4阶幻方。
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; b( ]9 L# E0 O. o+ A而在国外,十二世纪的阿拉伯文献也有六阶幻方的记载,我国的考古学家们曾经在西安发现了阿拉伯文献上的五块六阶幻方,除了这些以外,历史上最早的四阶幻方是在印度发现的,那是一个完全幻方,而且比中国的杨辉还要早了两百多年,印度人认为那是天神的手笔. 8 y+ j( o4 M. U" i8 V
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1956年西安出土一铁片板上所刻的六阶幻方(古阿拉伯数字)
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, t1 l% B- U/ ^" v# R/ Q& p8 p十三世纪,东罗马帝国才对幻方产生兴趣,但却没有什么成果.
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8 F( @1 p8 Y2 _5 t3 ~7 ^& `1 t直到十五世纪,住在君士坦丁堡的魔索普拉才把我国的纵横图传给了欧洲人,欧洲人认为幻方可以镇压妖魔,所以把它作为护身符,也把它叫作「Magic Square」. / U4 h" x8 o# v7 y3 s
) ]: H( x/ h9 S6 j欧洲最早的幻方是在德国一位名画家Albrecht Dure的画里的,上面有一个四阶幻方,而这个幻方的下面两个数字正好是这幅画的制作年代(1514).这是欧洲最古老的幻方.
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2 }% l2 s) G7 Q5 e幻方的种类: ! ~( C" h- ~/ Q
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现在的幻方种类很多，如
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; f$ K4 I( c$ Z! ]7 S一般幻方,完美幻方,高次幻方,
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9 s& T( P) c% h魔鬼幻方,同心幻方,对称幻方,
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马步幻方,多重幻方,六角幻方等等 |
发表于 2007-8-22 01:40
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